109. 유클리드 거리 vs 맨해튼 거리 (Euclidean vs Manhattan Distance)

핵심 인사이트 (3줄 요약)

본질: 유클리드 거리(L2 Norm)는 두 점 사이의 최단 직선 거리 $\sqrt{\sum(x_i-y_i)^2}$이고, 맨해튼 거리(L1 Norm)는 축을 따라 이동하는 격자형 거리 $\sum|x_i-y_i|$로, 동일한 민코프스키 거리(Minkowski Distance)의 $p=2$, $p=1$ 특수 케이스다.

가치: 거리 함수 선택에 따라 K-NN, K-Means, Lasso/Ridge 등 ML 알고리즘의 결과와 수렴 속도가 크게 달라지며, 이상치(Outlier) 민감도에서 결정적 차이가 발생한다.

판단 포인트: 연속적·물리적 거리가 중요하면 유클리드, 이산적·독립 차원 데이터이거나 이상치에 강건해야 하면 맨해튼을 사용하며, 어떤 경우든 스케일링(표준화/정규화)이 필수 전제다.

Ⅰ. 개요 및 필요성

ML에서 데이터 간 '유사도'를 수치화하려면 거리 함수(Distance Metric)가 필요하다. 같은 데이터셋에 유클리드를 쓰느냐 맨해튼을 쓰느냐에 따라 K-NN의 이웃이 달라지고, K-Means의 클러스터 형태가 바뀐다.

┌───────────────────────────────────────────────┐
│    유클리드 vs 맨해튼 거리 시각화              │
├───────────────────────────────────────────────┤
│          (B)                                  │
│           *                                   │
│          /|                                   │
│   Euclid/ | Manhattan                         │
│   (직선)/ | (격자: 가로+세로)                  │
│        /  |                                   │
│   (A) *───┘                                   │
│                                               │
│  Euclid  = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)           │
│  Manhattan = |x2-x1| + |y2-y1|               │
└───────────────────────────────────────────────┘

📢 섹션 요약 비유: 유클리드는 새가 하늘을 직선으로 날아가는 거리, 맨해튼은 택시가 도시 격자 도로를 따라 꺾어가는 거리다.

Ⅱ. 아키텍처 및 핵심 원리

민코프스키 거리 일반화

$D_p(x,y) = \left(\sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|^p\right)^{1/p}$

$p$ 값	이름	등고선 형태	이상치 영향
$p=1$	맨해튼 (L1)	다이아몬드(◇)	절대값 → 상대적으로 작음
$p=2$	유클리드 (L2)	원(○)	제곱 → 크게 증폭
$p→∞$	체비셰프 (L∞)	정사각형(□)	최대 차이만 반영

이상치 민감도 메커니즘

유클리드는 차이를 제곱하므로 이상치 1개가 거리를 폭발적으로 왜곡한다. 맨해튼은 절대값만 취하므로 이상치의 영향이 선형적이다. 따라서 이상치가 많은 데이터에서는 맨해튼이 더 강건(Robust)하다.

📢 섹션 요약 비유: 유클리드는 시험에서 한 과목 0점을 받으면 평균이 폭락하는 제곱 방식이고, 맨해튼은 0점이어도 다른 과목으로 만회가 쉬운 절대값 방식이다.

Ⅲ. 비교 및 연결

비교 항목	유클리드 (L2)	맨해튼 (L1)
기하학	최단 직선	격자형 이동
이상치	제곱 → 매우 민감	절대값 → 상대적 강건
차원의 저주	더 취약	고차원에서 구별력 유지
정규화 연결	Ridge (L2 Regularization)	Lasso (L1 Regularization)
K-Means	표준 K-Means	K-Medians
주요 활용	회귀, K-Means, 신경망	Lasso, 고차원·희소 데이터

Ⅳ. 실무 적용 및 기술사 판단

선택 기준

데이터 특성: 연속·물리적 거리 → 유클리드 / 이산·독립 차원 → 맨해튼
이상치: 이상치 다수 → 맨해튼 (L1이 Robust)
고차원: 차원 > 100 → 맨해튼 또는 코사인 유사도 검토
전제: 두 거리 모두 단위에 민감 → 표준화(StandardScaler) 또는 정규화(MinMaxScaler) 필수

안티패턴

스케일링 없이 거리 계산: 키(cm)와 체중(kg) 같은 이질 단위를 스케일링 없이 유클리드 거리로 계산 → 큰 단위 변수가 거리를 지배.

Ⅴ. 기대효과 및 결론

거리 함수는 추천 시스템, 이미지 검색, 군집 분석 등 거의 모든 ML의 토대다. 최근에는 고차원 특성을 반영하기 위해 **코사인 유사도(Cosine Similarity)**나 **마할라노비스 거리(Mahalanobis Distance)**와 혼합하는 하이브리드 전략이 표준으로 자리잡고 있다.

📌 관련 개념 맵

개념	연결 포인트
민코프스키 거리	L1·L2를 일반화하는 상위 개념 ($p$ 파라미터)
K-NN	거리 함수 선택이 이웃 결정에 직접 영향
K-Means / K-Medians	L2 → K-Means, L1 → K-Medians
Lasso (L1) / Ridge (L2)	각각 맨해튼·유클리드 노름 기반 정규화
차원의 저주	고차원에서 거리 간 격차가 축소되는 현상
코사인 유사도	방향 기반 유사도, 벡터 크기 무시

📈 관련 키워드 및 발전 흐름도

[유클리드 거리 (피타고라스, BC) — 2차원 직선 거리]
    │
    ▼
[민코프스키 거리 (19C) — p-노름 일반화]
    │
    ▼
[맨해튼 거리 (Taxi Cab) — L1 노름, 이산 공간]
    │
    ▼
[코사인 유사도·마할라노비스 — 방향·공분산 고려]
    │
    ▼
[현재: Learned Distance (Metric Learning) — 신경망이 최적 거리 함수를 학습]

👶 어린이를 위한 3줄 비유 설명

유클리드 거리는 새가 하늘을 직선으로 슝~ 날아가는 거리예요.
맨해튼 거리는 자동차가 도시 골목길을 ㄱ자, ㄴ자로 꺾어서 가는 거리예요.
학교까지 얼마나 먼지 재는 방법이 여러 가지가 있다는 뜻이랍니다!